Integrasi numerik metode simpson 1/3 dihasilkan bila polinomial orde dua disubsitusikan ke dalam persamaan
Persamaan (1)
Simpson 1/3 digunakan polinomial orde dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-1), f(xi) dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi. Rumus simpson dapat diturunkan berdasarkan deret taylor. Apabila persamaan (1) didiferensialkan terhadap x, maka menjadi:
Persamaan (2)
Gambar (1)
Dengan memperhatikan gambar (1) dan persamaan (2) maka persamaan deret taylor adalah:
Persamaan (3)
Persamaan (4)
Dari gambar (1) nilai I(xi+1) adalah luas dibawah fungsi f(x) antara batas a dan (xi+1). Sedangkan nilai I(xi-1)adalah luas dibawah fungsi f(x) antara batas a dan (xi-1). Misal luas dibawah fungsi f(x) antara batas (xi-1) dan (xi+1) adalah I, maka:
atau
Persamaan (5)
Sedangkan f ''(xi) didapat dari diferensial center
Persamaan (6)
Kemudian subsitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (5)
Persamaan (7)
Persamaan (7) ini adalah metode simpson 1/3, diberi tambahan 1/3 karena delta x dibagi dengan 3.
Gambar (4)
Luas total dibawah fungsi f(x) antra a dan b dengan menjumlahkan semua luas di setiap pias.
persamaan (8)
Apabila persamaan (7) disubsitusikan ke dalam persamaan (8) akan diperoleh:
Atau
Atau untuk n pias
persamaan (9)
Persamaan (9) adalah untuk mencari nilai integral dari f(x) dengan pias n antara a dan b.
Penggalan program dalam C++:
temp=f(a)+f(b);
jarak=a;
for(i=1;i<=n;i++)
{
jarak=jarak+delta;
if(fmod(i,2)!=0)
temp=temp+4*f(jarak);
else
temp=temp+2*f(jarak);
}
I=(temp*delta)/3;
temp=f(a)+f(b);
jarak=a;
for(i=1;i<=n;i++)
{
jarak=jarak+delta;
if(fmod(i,2)!=0)
temp=temp+4*f(jarak);
else
temp=temp+2*f(jarak);
}
I=(temp*delta)/3;
Klik dibawah ini untuk DOWNLOAD program yang sudah jadi ntuk f(x) = x2 (C++).
