Integral dengan Metode Simpson 1/3

Integrasi numerik metode simpson 1/3 dihasilkan bila polinomial orde dua disubsitusikan ke dalam persamaan

Persamaan (1)

Simpson 1/3 digunakan polinomial orde dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-1), f(xi) dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi. Rumus simpson dapat diturunkan berdasarkan deret taylor. Apabila persamaan (1) didiferensialkan terhadap x, maka menjadi:

Persamaan (2)

Gambar (1)

Dengan memperhatikan gambar (1) dan persamaan (2) maka persamaan deret taylor adalah:

Persamaan (3)

Persamaan (4)

Dari gambar (1) nilai I(xi+1) adalah luas dibawah fungsi f(x) antara batas a dan (xi+1). Sedangkan nilai I(xi-1)adalah luas dibawah fungsi f(x) antara batas a dan (xi-1). Misal luas dibawah fungsi f(x) antara batas (xi-1) dan (xi+1) adalah I, maka:

atau

Persamaan (5)

Sedangkan f ''(xi) didapat dari diferensial center

Persamaan (6)

Kemudian subsitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (5)

Persamaan (7)

Persamaan (7) ini adalah metode simpson 1/3, diberi tambahan 1/3 karena delta x dibagi dengan 3.

Pada pemakaian banyak pias (n pias), membagi luasan dengan n pias dengan panjang interval yang sama dan missal n=4 Gambar (2). 

Gambar (4)

Luas total dibawah fungsi f(x) antra a dan b dengan menjumlahkan semua luas di setiap pias.

persamaan (8)

Apabila persamaan (7) disubsitusikan ke dalam persamaan (8) akan diperoleh:

Atau

Atau untuk n pias

persamaan (9)

Persamaan (9) adalah untuk mencari nilai integral dari f(x) dengan pias n antara a dan b.

Penggalan program dalam C++:
 
    ^{temp=f(a)+f(b);
    jarak=a;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        jarak=jarak+delta;
        if(fmod(i,2)!=0)
            temp=temp+4*f(jarak);
        else
            temp=temp+2*f(jarak);
    }
    I=(temp*delta)/3;}
 

Klik dibawah ini untuk DOWNLOAD program yang sudah jadi ntuk f(x) = x² (C++).

www.4shared.com

www.mediafire.com 

Password:dewa_m08@yahoo.co.idsimpson1/3

Semoga bermanfaat.